Macam - Macam Diagram

1.      Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.

Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu Y menunjukkan nilai data pengamatan untuk suatu waktu tertentu. Kumpulan waktu dan pengamatan membentuk titik-titik pada bidang XY, selanjutnya kolom dari tiap dua titik yang berdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garis atau grafik garis. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

2.      Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.

Contoh soal
Ranah privat (pengaduan) dari koran Solo Pos pada tanggal 22 Februari 2008 ditunjukkan
seperti tabel berikut.

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram lingkaran.
Penyelesaian
Sebelum data pada tabel di atas disajikan dengan diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnya sudut dalam lingkaran dari data tersebut.
1. CPNS/Honda/GTT = 5/100 x 360° = 18°
2. Perbaikan/pembangunan/gangguan jalan = 9/100 x 360° = 32,4°
3. Masalah lingkungan/kebersihan = 6/100 x 360° = 21,6°
4. Kesehatan/PKMS/Askeskin = 3/100 x 360° = 10,8°
5. Lalu lintas/penertiban jalan = 6/100 x 360° = 21,6°
6. Revitalisasi/budaya Jawa = 20/100 x 360° = 72°
7. Parkir = 3/100 x 360° = 10,8°
8. Pekat/penipuan/preman = 7/100 x 360° = 25,2°
9. Persis/olahraga = 10/100 x 360° = 36°
10. PKL/Bangunan liar = 2/100 x 360° = 7,2°
11. PLN dan PDAM = 2/100 x 360° = 7,2°
12. Provider HP = 7/100 x 360° = 25,2°
13. Tayangan TV/radio/koran = 3/100 x 360° = 10,8°
14. Lain-lain = 17/100 x 360° = 61,2°
Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut.

3.      Diagram Batang
Diagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah. Perhatikan contoh berikut ini.
Contoh soal
Jumlah lulusan SMA X di suatu daerah dari tahun 2001 sampai tahun 2004 adalah
sebagai berikut.

Nyatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.
Penyelesaian
Data tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.

Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi
Perhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematika
dari 40 siswa kelas XI berikut ini.
66 75 74 72 79 78 75 75 79 71
75 76 74 73 71 72 74 74 71 70
74 77 73 73 70 74 72 72 80 70
73 67 72 72 75 74 74 68 69 80
dari data diatas, dapat dibuat tabel distribusi frekuensi sbb:

Istilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensi
bergolong atau distribusi frekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.
a. Interval Kelas
Tiap-tiap kelompok disebut interval kelas atau sering disebut interval atau kelas
saja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam interval ini.
65 – 67 → Interval kelas pertama
68 – 70 → Interval kelas kedua
71 – 73 → Interval kelas ketiga
74 – 76 → Interval kelas keempat
77 – 79 → Interval kelas kelima
80 – 82 → Interval kelas keenam
b. Batas Kelas
Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80
merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka 67, 70, 73, 76, 79,
dan 82 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.
c. Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas)
Untuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
Tepi atas = batas atas + 0,5
Dari tabel di atas maka tepi bawah kelas pertama 64,5 dan tepi atasnya 67,5, tepi
bawah kelas kedua 67,5 dan tepi atasnya 70,5 dan seterusnya.
d. Lebar kelas
Untuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus:
Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah
Jadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah 67,5 – 64,5 = 3.
e. Titik Tengah
Untuk mencari titik tengah dapat dipakai rumus:
Titik tengah = 1/2 (batas atas + batas bawah)
Dari tabel di atas: titik tengah kelas pertama = 1/2(67 + 65) = 66
titik tengah kedua = 1/2(70 + 68) = 69
dan seterusnya.

Distribusi Frekuensi Kumulatif
Daftar distribusi kumulatif ada dua macam, yaitu sebagai berikut.
a. Daftar distribusi kumulatif kurang dari (menggunakan tepi atas).
b. Daftar distribusi kumulatif lebih dari (menggunakan tepi bawah).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.

Dari tabel di atas dapat dibuat daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari seperti berikut.

4.      Histogram

Dari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi frekuensi dan disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram. Jika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah maka pada histogram gambar batang-batangnya berimpit. Histogram dapat disajikan dari distribusi frekuensi tunggal maupun distribusi frekuensi bergolong. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

Data banyaknya siswa kelas XI IPA yang tidak masuk sekolah dalam 8 hari berurutan
sebagai berikut.

5.      Poligon Frekuensi
Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnya
dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Berdasarkan contoh di atas
dapat dibuat poligon frekuensinya seperti gambar berikut ini.

contoh soal:
Hasil pengukuran berat badan terhadap 100 siswa SMP X digambarkan dalam distribusi
bergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon frekuensi.

Penyelesaian
Histogram dan poligon frekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.

6.      Poligon Frekuensi Kumulatif
Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif. Jika poligon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Hasil tes ulangan Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA digambarkan dalam tabel di samping.
a. Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari.
b. Gambarlah ogive naik dan ogive turun.

b. Ogive naik dan ogive turun
Daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidang
Cartesius. Tepi atas (67,5; 70,5; …; 82,5) atau tepi bawah (64,5; 67,5; …; 79,5)
diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi
kumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukan
dihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ada dua macam ogive,
yaitu ogive naik dan ogive turun. Ogive naik apabila grafik disusun berdasarkan
distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Sedangkan ogive turun apabila berdasarkan
distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.
Ogive naik dan ogive turun data di atas adalah sebagai berikut.

Statistik dan Statistika

Pengertian Statistik dan Statistika :

Statistik adalah kumpulan data, bilangan atau non bilangan yang disusun dalam tabel atau diagram yang menggambarkan suatu masalah.

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi dan mempresentasikan data.

Jenis data :

Terdapat dua jenis data statistik yaitu :

• Data Kualitatif (Qualitative Data)
• Data Kuantitatif (Quantitative Data)

Data Kualitatif (Qualitative Data)

Data kualitatif secara sederhana bisa disebut data yang bukan berupa angka. Data kualitatif mempunyai ciri tidak bisa dilalukan operasi matematik seperti penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Data kualitatif bisa dibagi menjadi dua, yaitu:

1.      Nominal

Data tipe nominal adalah data yang paling ‘rendah’ dalam pengukuran data. Jika suatu pengukuran data hanya menghasilkan satu dan hanya satu-satunya kategori, data tersebut adalah data nominal (data kategori). Misal, proses pendaftaran tempat tinggal 40 responden dalam suatu penelitian. Dalam kasus ini setiap orang akan bertempat tinggal di suatu tempat tertentu (berdasarkan pada KTP), tidak bisa ditempat lain. Misal, Amir berdomisili di Solo, maka dia (dianggap) tidak tinggal di Yogyakarta, atau punya dua KTP. Jadi, data tempat tinggal adalah data nomial karena Amir hanya satu dan satu-satunya, tidak bisa lebih dari satu, tempat tinggal yang ditunjukan dengan KTP.

Data Nominal dalam praktek statistic biasanya akan dijadikan ‘angka’, yaitu proses yang disebut kategorisasi. Misal, dalam pengisian data jenis kelamin lelaki di kategorikan sebagai ‘1′ dan perempuan ‘2′. Kategori inihanya sebagai tanda saja, jadi tidak bisa dilakukan dalam operasi matematika, seperti 1+2 atau 2-1 dan lainnya.

2.      Ordinal

Data ordial, seperti pada nominal, adalah juga data kualitatif namun dengan level yang lebih ‘tinggi’ daripada data nominal. Jika pada data nominal, semua data kategori dianggap sama, pada data ordinal, ada tingkat data. Misal pada data jenis kelamin diatas, lelaki dianggap setara dengan wanita, atau dalam data tempat kelahiran, data Yogyakarta dianggap sama dengan data Solo, Surabya, boyolali daan seterusnya.

Pada data ordinal, ada data dengan urutan lebih tinggi dan urutan lebih rendah, missal tentang sikap orang terhadap produk tertentu. Dalam pengukuran sikap konsumen, ada sikap suka dan tidak suka, sangat suka dan lainnya. Di sini data tidak bisa disamakan derajatnya, dalam arti suka dianggap lebih tinggi dari tidak suka, namun lebih rendah dari sangat suka dan lainnya. Jadi , di sini ada preferensi atau tingkatan data, yaitu data yang satu status lebih tinggi atau lebih rendah dari yang lain, Namun, data ordinal juga tidak bisa dilakukan operasi matematika, seperti jika tidak suka dikategorikan 1, suka dikategorikan 2, sangat suka dikategorikan 3, tidak bisa dianggap 1 + 2 = 3, atau tidak suka ditambah suka menjadi sangat suka.

Data Kuantitatif (Quantitative Date)

Data kuantitatif  bisa disebut sebagai data berupa angka dalam artian sebenarnya. Jadi, beberapa operasi matematika bisa dilakukan pada data kuantitatif. Seperti pada data kualitatif, data kuantitatif  juga dibagi dua bagian, yaitu:

1        Data Interval

Data Interval menempati level pengukuran data lebih tinggi dari data ordinal, karena selain bisa bertingkat urutannya, juga urutan tersebut dikuantitatifkan. Seperti pengukuran sebuah ruangan pembakaran roti dari PT ENAK. Interval pemperatur ruang tersebut:
Cukup panas jika temperature antara 500C – 800C
Panas jika temperature antara 800C – 1000C
Sangat panas jika temperature antara 1100C – 1400C
Dalam kasus ini temperature dapat dikatakan data interval karena data mempunyai interval (jarak) tertentu yaitu 300C.

2        Data Rasio

Data Rasio adalah data dengan tingkat pengukuran paling tinggi diantara jenis data lainnya. Data Rasio adalah data yang bersifat angka dalam artian sesungguhnya.misalnya 23 roti ditambah 3 roti sama dengan 26 roti (operasi penjumlahan)

Untuk Data kualitatif, karena bukan data angka dalam arti sesungguhnya, tidak dapat disamakan perlakuannya dengan data kuantitatif. Data nominal dan ordinal bisanya memakai statistic nonparametik, sedangkan data kuantitatif biasanya memakai statistik parametik.

Macam-macam Statistika :

Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan (dideskripsikan) atau disimpulkan baik secara numerik (misal menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik) untuk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut sehingga lebih mudah dibaca dan bermakna.

Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data misal melakukan pengujian hipotesis melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi) membuat permodelan hubungan (korelasi regresi ANOVA deret waktu) dan sebagainya.

MACAM & SIFAT BILANGAN

A. Macam-macam bilangan
1. Bilangan bulat
Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan nol, bilangan positif, dan bilangan negatife, contohnya: -3, -2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3…. Dst

2. Bilangan asli
Bilangan asli merupakan suatu bilangan bulat positif yamg harus diawali dari angka1 (satu) hingga tak terhingga, contohnya: 1, 2, 3, 4, 5…. Dst

3. Bilangan cacah
Bilangan cacah merupakan suatu bilangan bulat positif yang harus diawali dari angka 0 (nol) hingga tak terhingga, contohnya: 0, 1, 2, 3, 4, 5…. Dst

4. Bilangan Prima
Bilangan prima merupakan suatu bilangan yang tepat punya 2 faktor, yaitu bilangan 1 (satu) dan dengan bilangan itu sendiri, contohnya: 2, 3, 5, 7, 11, 13…. Dst

5. Bilangan Komposit
Bilangan komposit merupakan bilangan yang bukan 0 (nol), juga bukan 1, dan bukan juga bilangan Prima, contohnya: 4, 6, 8, 9 , 10, 12, 14…. Dst

6. Bilangan Rasional
Bilangan Rasional merrupakan suatu bilangan yang dapat dinyatkan sebagai suatu pembagian antara 2 bilangan bulat, contonya: ½, 2/3, ¾…. Dst

7. Bilangan Irrasional
Bilangan Irrasional merupakan bilangan yang nggak bisa dinyatkan sebagai pembagi dua bilangan bulat, contohnya: √3, log 7….. Dst

8. Bilangan  rill atua biasa disebut dengan bilangan nyata
Bilangan rill merupakan bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan Irrasional, contohnya: ½ √2, 1/3 √5, 2/3 log 2, dan seterusnya.

9. Bilangan Imajiner atau bilangan khayal
Bilangan imajiner merupakan bilangan yang ditandai dengan huruf i, Bilangan imajiner dengan huruf i dapat dinyatakan sebagai √-1. Jadi apabila i = √-1 maka i² = -1
contonya: √-8    = …. ?
√-8 = √8 x (-1) = √8 x √-1 = 4 x i  = 2 i

10. Bilangan kompleks
bilangan kompleks merupakan suatu bilangan yangv merupakan penggabungan dari suatu bilangan rill dan bilangan imajiner
contohnya: Log √-1 = log i

B.  Sifat-sifat operasi dalam bilangan

1. Sifat komutatif atau sifat pertukaran
a + b = b + a atau a x b = b x a

2. Sifat asosiatif atau sifat pengelompokan
(a + b) + c = a + (b + c)
(p xq) x r = p x (q x r)

3. Sifat distributife atau sifat penyebaran

- Perkalian yang terjadi terhadap penjumlahan
( p + q) x r = (p x r) + (q x r)
- Perkalian yang terjadi terhadap pengurangan
( a - b) x c = (a x c) - (b x c)
- Pembagian yang terjadi terhadap penjumlahan
( p + b)/r= p/r + q/r
- Pembagian yang terjadi terhadap pengurangan
( a - b)/c = a/c - b/c

C. Pangkat atau eksponen

1. Pangkat bilangan bulat yang positif
Bentuk umum: Aⁿ A = Bilangan pokok          n = pangkat atau eksponen
Sifat pada pangkat bilangan bulat yang positif:

1. A^m x Aⁿ = A^{m + n}                                 2. A^m/Aⁿ = A^{m - n}
    Contoh:  6² x 6⁴ = 6²⁺⁴ = 6⁶                   Contoh: 4⁹/4⁶ = 4^9-6 4³
3. (P x Q)ⁿ = Pⁿ x Qⁿ                            4. (P/Q)² = P²/Q²
     Contoh: (5 x 2)² = 5² x 2²                          Contoh: ( 3/5)⁴ =  3²
2. Pangkat bilangan bulat yang negative dan nol
1. P^-n = 1/Pⁿ                                                                      2. A⁰ = 1    syarat A ≠ 0
    Contoh: 6^-3 = 1/6³ = 1/216                                   Contoh: 6⁰ = 1
3. Pangkat pecahan
1.  A^1/n = ⁿ√A                                       2.  A^m/n = ⁿ√A^m                                       Contoh: 5^1/3 = ³√5                                      Contoh: 5^2/4 = ⁴√5²